Gerak melingkar

Bagian dari seri artikel mengenai
Mekanika klasik
${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$ Hukum kedua Newton
Sejarah Garis waktu
Cabang Benda langit Dinamika Kinematika Kinetika Kontinuum Statika Statistika Terapan
Dasar Asas D'Alembert Daya mekanik Energi kinetik potensial Gaya Impuls Inersia / Momen inersia Kecepatan Kelajuan Kerangka acuan Usaha mekanik Kerja maya Massa Momen Momentum Momentum sudut Pasangan Percepatan Ruang Torsi Waktu
Rumus Hukum gerak Newton Mekanika analisis Mekanika Lagrange Mekanika Hamilton Mekanika Routh Persamaan Hamilton–Jacobi Persamaan gerak Appell Persamaan Udwadia–Kalaba
Topik inti Benda tegar dinamika persamaan Euler Friksi Gaya fiksi Gerak (linear) Gerak harmonik sederhana Getaran Hukum gerak Euler Hukum gerak Newton Hukum gravitasi universal Newton Inersia / Kerangka acuan non-inersia Kecepatan relatif Mekanika gerak partikel planar Osilator harmonis Peredaman (rasio) Perpindahan Persamaan gerak
Rotasi Gerak melingkar Kerangka acuan berotasi Gaya sentripetal Gaya sentrifugal reaktif Gaya coriolis Pendulum Kecepatan tangensial Kecepatan putar Percepatan sudut / perpindahan / frekuensi / kecepatan
Ilmuwan Galileo Newton Kepler Horrocks Halley Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Cauchy
l b s

Gerak melingkar (bahasa Inggris: circular motion) adalah gerak suatu benda yang membentuk lintasan berupa lingkaran mengelilingi suatu titik tetap. Agar suatu benda dapat bergerak melingkar ia membutuhkan adanya gaya yang selalu membelokkan-nya menuju pusat lintasan lingkaran. Gaya ini dinamakan gaya sentripetal. Suatu gerak melingkar beraturan dapat dikatakan sebagai suatu gerak dipercepat beraturan, mengingat perlu adanya suatu percepatan yang besarnya tetap dengan arah yang berubah, yang selalu mengubah arah gerak benda agar menempuh lintasan berbentuk lingkaran.^[1]

Besaran-besaran yang mendeskripsikan suatu gerak melingkar adalah ${\displaystyle \theta \!}$, ${\displaystyle \omega \!}$ dan ${\displaystyle \alpha \!}$ atau berturur-turut berarti sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut. Besaran-besaran ini bila dianalogikan dengan gerak linier setara dengan posisi, kecepatan dan percepatan atau dilambangkan berturut-turut dengan ${\displaystyle r\!}$, ${\displaystyle v\!}$ dan ${\displaystyle a\!}$.

Besaran gerak lurus dan melingkar

Gerak lurus		Gerak melingkar
Besaran	Satuan (SI)	Satuan (SI)
posisi ${\displaystyle r\!}$	m	rad
kecepatan ${\displaystyle v\!}$	m/s	rad/s
percepatan ${\displaystyle a\!}$	m/s2	rad/s2
-	-	s
-	-	m

Seperti halnya kembarannya dalam gerak linier, besaran-besaran gerak melingkar pun memiliki hubungan satu sama lain melalui proses integrasi dan diferensiasi.

${\displaystyle \int \omega \ dt=\theta \quad \leftrightarrow \quad \omega ={\frac {d\theta }{dt}}}$

${\displaystyle \int \alpha \ dt=\omega \quad \leftrightarrow \quad \alpha ={\frac {d\omega }{dt}}}$

${\displaystyle \int \int \alpha \ dt^{2}=\theta \quad \leftrightarrow \quad \alpha ={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}}$

Antara besaran gerak linier dan melingkar terdapat suatu hubungan melalui ${\displaystyle R\!}$ khusus untuk komponen tangensial, yaitu

${\displaystyle \theta ={\frac {r_{T}}{R}}\ \,\ \ \omega ={\frac {v_{T}}{R}}\ \,\ \ \alpha ={\frac {a_{T}}{R}}}$

Perhatikan bahwa di sini digunakan ${\displaystyle r_{T}\!}$ yang didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh atau tali busur yang telah dilewati dalam suatu selang waktu dan bukan hanya posisi pada suatu saat, yaitu

${\displaystyle r_{T}\approx |{\overrightarrow {r}}(t+\Delta t)-{\overrightarrow {r}}(t)|\!}$

untuk suatu selang waktu kecil atau sudut yang sempit.

Gerak melingkar dapat dibedakan menjadi dua jenis, atas keseragaman kecepatan sudutnya ${\displaystyle \omega \!}$, yaitu:

• gerak melingkar beraturan, dan
• gerak melingkar berubah beraturan.

Gerak Melingkar Beraturan (GMB) adalah gerak melingkar dengan besar kecepatan sudut ${\displaystyle \omega \!}$ tetap. Besar Kecepatan sudut diperolah dengan membagi kecepatan tangensial ${\displaystyle v_{T}\!}$ dengan jari-jari lintasan ${\displaystyle R\!}$.

${\displaystyle \omega ={\frac {v_{T}}{R}}}$

Arah kecepatan linier ${\displaystyle v\!}$ dalam GMB selalu menyinggung lintasan, yang berarti arahnya sama dengan arah kecepatan tangensial ${\displaystyle v_{T}\!}$. Tetapnya nilai kecepatan ${\displaystyle v_{T}\!}$ akibat konsekuensi dar tetapnya nilai ${\displaystyle \omega \!}$. Selain itu terdapat pula percepatan radial ${\displaystyle a_{R}\!}$ yang besarnya tetap dengan arah yang berubah. Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal, di mana arahnya selalu menunjuk ke pusat lingkaran.

${\displaystyle a_{R}={\frac {v^{2}}{R}}={\frac {v_{T}^{2}}{R}}}$

Bila ${\displaystyle T\!}$ adalah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan satu putaran penuh dalam lintasan lingkaran ${\displaystyle \theta =2\pi R\!}$, maka dapat pula dituliskan

${\displaystyle v_{T}={\frac {2\pi R}{T}}\!}$

Kinematika gerak melingkar beraturan adalah

${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}+\omega \ t}$

dengan ${\displaystyle \theta (t)\!}$ adalah sudut yang dilalui pada suatu saat ${\displaystyle t\!}$, ${\displaystyle \theta _{0}\!}$ adalah sudut mula-mula dan ${\displaystyle \omega \!}$ adalah kecepatan sudut (yang tetap nilainya).

Ciri-ciri gerak melingkar beraturan:

• Besar kelajuan linearnya tetap
• Besar kecepatan sudutnya tetap
• Besar percepatan sentripetalnya tetap
• Lintasannya berupa lingkaran

Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB) adalah gerak melingkar dengan percepatan sudut ${\displaystyle \alpha \!}$ tetap. Dalam gerak ini terdapat percepatan tangensial ${\displaystyle a_{T}\!}$ (yang dalam hal ini sama dengan percepatan linier) yang menyinggung lintasan lingkaran (berhimpit dengan arah kecepatan tangensial ${\displaystyle v_{T}\!}$).

${\displaystyle \alpha ={\frac {a_{T}}{R}}}$

Kinematika GMBB adalah

${\displaystyle \omega (t)=\omega _{0}+\alpha \ t\!}$

${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}+\omega _{0}\ t+{\frac {1}{2}}\alpha \ t^{2}\!}$

${\displaystyle \omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}+2\alpha \ (\theta (t)-\theta _{0})\!}$

dengan ${\displaystyle \alpha \!}$ adalah percepatan sudut yang bernilai tetap dan ${\displaystyle \omega _{0}\!}$ adalah kecepatan sudut mula-mula.

Ciri-ciri gerak melingkar berubah beraturan:

• Besar kelajuan linearnya berubah
• Besar kecepatan sudutnya berubah
• Besar percepatan sentripetalnya berubah
• Lintasannya berupa lingkaran

Gerak melingkar dapat pula dinyatakan dalam persamaan parametrik dengan terlebih dahulu mendefinisikan:

• titik awal gerakan dilakukan ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\!}$
• kecepatan sudut putaran ${\displaystyle \omega \!}$ (yang berarti suatu GMB)
• pusat lingkaran ${\displaystyle (x_{c},y_{c})\!}$

untuk kemudian dibuat persamaannya.^[2]

Hal pertama yang harus dilakukan adalah menghitung jari-jari lintasan ${\displaystyle R\!}$ yang diperoleh melalui:

${\displaystyle R={\sqrt {(x_{0}-x_{c})^{2}+(y_{0}-y_{c})^{2}}}\!}$

Setelah diperoleh nilai jari-jari lintasan, persamaan dapat segera dituliskan, yaitu

${\displaystyle x(t)=x_{c}+R\cos(\omega t+\phi _{x})\!}$

${\displaystyle y(t)=y_{c}+R\sin(\omega t+\phi _{y})\!}$

dengan dua konstanta ${\displaystyle \phi _{x}\!}$ dan ${\displaystyle \phi _{y}\!}$ yang masih harus ditentukan nilainya. Dengan persyaratan sebelumnya, yaitu diketahuinya nilai ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\!}$, maka dapat ditentukan nilai ${\displaystyle \phi _{x}\!}$ dan ${\displaystyle \phi _{y}\!}$:

${\displaystyle \phi _{x}=\arccos \left({\frac {x_{0}-x_{c}}{R}}\right)\!}$

${\displaystyle \phi _{y}=\arcsin \left({\frac {y_{0}-y_{c}}{R}}\right)\!}$

Perlu diketahui bahwa sebenarnya

${\displaystyle \phi _{x}=\phi _{y}\!}$

karena merupakan sudut awal gerak melingkar.

Dengan menggunakan persamaan parametrik, telah dibatasi bahwa besaran linier yang digunakan hanyalah besaran tangensial atau hanya komponen vektor pada arah angular, yang berarti tidak ada komponen vektor dalam arah radial. Dengan batasan ini hubungan antara besaran linier (tangensial) dan angular dapat dengan mudah diturunkan.

Kecepatan linier total dapat diperoleh melalui

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$

dan karena batasan implementasi persamaan parametrik pada gerak melingkar, maka

${\displaystyle v_{T}=v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$

dengan

${\displaystyle v_{x}={\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}}$

${\displaystyle v_{y}={\dot {y}}={\frac {dy}{dt}}}$

diperoleh

${\displaystyle v_{x}=-\omega R\sin(\omega t+\phi _{x})\!}$

${\displaystyle v_{y}=\omega R\cos(\omega t+\phi _{x})\!}$

sehingga

${\displaystyle v_{T}={\sqrt {(-\omega )^{2}R^{2}\sin ^{2}(\omega t+\phi _{x})+\omega ^{2}R^{2}\cos ^{2}(\omega t+\phi _{x})}}\!}$

${\displaystyle v_{T}=\omega R{\sqrt {\sin ^{2}(\omega t+\phi _{x})+\cos ^{2}(\omega t+\phi _{x})}}\!}$

${\displaystyle v_{T}=\omega R\!}$

Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, percepatan linier total dapat diperoleh melalui

${\displaystyle a={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}$

dan karena batasan implementasi persamaan parametrik pada gerak melingkar, maka

${\displaystyle a_{T}=a={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}$

dengan

${\displaystyle a_{x}={\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

${\displaystyle a_{y}={\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}}$

diperoleh

${\displaystyle a_{x}=-\omega ^{2}R\cos(\omega t+\phi _{x})\!}$

${\displaystyle a_{y}=-\omega ^{2}R\sin(\omega t+\phi _{x})\!}$

sehingga

${\displaystyle a_{T}={\sqrt {(-\omega )^{4}R^{2}\cos ^{2}(\omega t+\phi _{x})+\omega ^{4}R^{2}\sin ^{2}(\omega t+\phi _{x})}}\!}$

${\displaystyle a_{T}=\omega ^{2}R{\sqrt {\cos ^{2}(\omega t+\phi _{x})+\sin ^{2}(\omega t+\phi _{x})}}\!}$

${\displaystyle a_{T}=\omega ^{2}R\!}$

Persamaan parametric dapat pula digunakan apabila gerak melingkar merupakan GMBB, atau bukan lagi GMB dengan terdapatnya kecepatan sudut yang berubah beraturan (atau adanya percepatan sudut). Langkah-langkah yang sama dapat dilakukan, akan tetapi perlu diingat bahwa

${\displaystyle \omega \rightarrow \omega (t)=\int \alpha dt=\omega _{0}+\alpha t\!}$

dengan ${\displaystyle \alpha \!}$ percepatan sudut dan ${\displaystyle \omega _{0}\!}$ kecepatan sudut mula-mula. Penurunan GMBB ini akan menjadi sedikit lebih rumit dibandingkan pada kasus GMB di atas.

Persamaan parametrik di atas, dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih umum, yaitu:

${\displaystyle x(t)=x_{c}+R\cos \theta \!}$

${\displaystyle y(t)=y_{c}+R\sin \theta \!}$

di mana ${\displaystyle \theta =\theta (t)\!}$ adalah sudut yang dilampaui dalam suatu kurun waktu. Seperti telah disebutkan di atas mengenai hubungan antara ${\displaystyle \theta \!}$, ${\displaystyle \omega \!}$ dan ${\displaystyle \alpha \!}$ melalui proses integrasi dan diferensiasi, maka dalam kasus GMBB hubungan-hubungan tersebut mutlak diperlukan.

Dengan menggunakan aturan rantai dalam melakukan diferensiasi posisi dari persamaan parametrik terhadap waktu diperoleh

${\displaystyle v_{x}(t)=-R\sin \theta \ {\frac {d\theta }{dt}}=-\omega (t)R\sin \theta \!}$

${\displaystyle v_{y}(t)=R\cos \theta \ {\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t)R\cos \theta \!}$

dengan

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t)=\omega _{0}+\alpha \ t\!}$

Dapat dibuktikan bahwa

${\displaystyle v(t)=v_{T}(t)={\sqrt {v_{x}^{2}(t)+v_{y}^{2}(t)}}=\omega (t)R\!}$

sama dengan kasus pada GMB.

Gerak melingkar dapat dipandang sebagai gerak berubah beraturan. Bedakan dengan gerak lurus berubah beraturan (GLBB). Konsep kecepatan yang berubah kadang hanya dipahami dalam perubahan besarnya, dalam gerak melingkar beraturan (GMB) besarnya kecepatan adalah tetap, akan tetapi arahnya yang berubah dengan beraturan, bandingkan dengan GLBB yang arahnya tetap akan tetapi besarnya kecepatan yang berubah beraturan.

Gerak berubah beraturan

Kecepatan	GLBB	GMB
Besar	berubah	tetap
Arah	tetap	berubah

• Gerak jatuh bebas
• Gerak lurus
• Gerak peluru
• Gerak vertikal

• Circular Motion Lecture – a video lecture on CM