Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan dalam pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris. Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan akar. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.

Dalam penggunaan sehari-hari, bilangan seringkali diartikan sebagai angka maupun nomor, tetapi ketiga istilah tersebut secara definisi merupakan entitas yang berbeda. Perlu dibedakaan antara bilangan dengan lambangnya.^[1]

Angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan bilangan. Contohnya, bilangan lima dapat dilambangkan menggunakan angka Hindu-Arab "5" (sistem angka berbasis 10), "101" (sistem angka biner), maupun menggunakan angka Romawi 'V'. Lambang "5", "1", "0", dan "V" yang digunakan untuk melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka. Kata "angka" juga dapat digunakaan dengan makna yang lebih khusus, yaitu masing-masing lambang 0-9 dalam penulisan suatu bilangan. Seperti dikatakan bahwa 12345 itu terdiri atas lima angka. Untuk makna ini dapat juga dikatakan bahwa 12345 terdiri atas lima digit.^[2]

Nomor bisa menunjuk pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yang berurutan. Misalnya kata 'nomor 3' menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, ..., dst. Kata "nomor" erat terkait dengan pengertian urutan. Nomor juga bisa menunjuk pada angka yang digunakan untuk melabeli suatu barang tanpa membawa maksud besaran atau ukuran apapun, seperti nomor telepon Nomor Induk Kependudukan.

Bilangan dapat dihimpun menurut jenisnya. Berikut dipaparkan beberapa jenis bilangan yang penting dalam matematika. Di antaranya adalah bilangan bulat 0, 1, -1, 2, -2, ... dan bilangan-bilangan asli 1, 2, 3, ..., keduanya sering digunakan untuk berhitung dalam aritmetika.

Sepanjang sejarah matematika, berbagai sistem bilangan dikembangkan dari sistem bilangan yang sudah ada sedemikian rupa sehingga sistem bilangan baru tersebut dalam menyelesaikan masalah matematis secara lebih umum, lepas dari batasan sistem bilangan sebelumnya.

Sistem bilangan Bilangan kompleks ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$ Bilangan real ${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$ Bilangan rasional ${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$ Bilangan bulat ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$ Bilangan asli ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$ Nol: 0 Satu: 1 Bilangan prima Bilangan komposit Bilangan bulat negatif Pecahan Desimal terhingga Diadik (biner terhingga) Desimal berulang Bilangan irasional Bilangan irasional aljabar Bilangan transendental Bilangan imajiner

Bilangan asli dilambangkan dengan huruf N atau Natural Numbers adalah bilangan bulat yang bernilai positif. Contohnya yaitu {1, 2, 3, 4 ...}^[3] Bilangan cacah disimbolkan dengan huruf W atau Whole Numbers adalah bilangan nol (0) dan bilangan bulat positif. Contohnya yaitu {0,1,2,3,4, ...}^[3]

Bilangan prima adalah bilangan yang lebih besar dari 1 yang hanya bisa dibagi dengan angka 1 dan bilangan itu sendiri serta tidak dapat dibagi dengan bilangan lainnya. Contohnya yaitu {2,3,5,7,11,13,17,19...}^[4]

Bilangan komposit adalah bilangan yang lebih besar dari 1 namun bisa dibagi dengan angka 1 dan bilangan asli yang lain. Contohnya yaitu {4,6,8,9,10...}

Himpunan semua bilangan bulat dalam buku-buku teks aljabar biasanya dinyatakan dengan lambang Z

Bilangan bulat dilambangkan dengan huruf Z atau Integers yaitu semua bilangan yang bernilai positif dan negatif termasuk angka nol (0) yang bukan desimal. Contohnya yaitu {… , -2, -1, 0, 1, 2, …}^[3] Bilangan bulat sendiri terbagi menjadi tiga jenis yaitu bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan nol.

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang bukan negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0.

Setiap bentuk rasio p/q antara dua bilangan bulat p dan bilangan bulat bukan nol q disebut bilangan rasional atau pecahan. Himpunan semua bilangan rasional ditandai dengan Q.

Bilangan rasional adalah bilangan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan dengan pembilang bilangan bulat dan penyebut bilangan bulat positif. Penyebut negatif diperbolehkan tetapi umumnya dihindari, karena setiap bilangan rasional sama dengan pecahan dengan penyebut positif. Pecahan ditulis sebagai dua bilangan bulat, pembilang dan penyebut, dengan garis pemisah di antaranya. Contohnya yaitu ${\textstyle {-{\frac {2}{3}},-{\frac {1}{4}},...}}$

Himpunan dari bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan irasional. Contohnya yaitu ${\textstyle {\pi ,e,{\sqrt {2}}}}$

Bilangan kompleks. Contohnya yaitu ${\textstyle {-2i,0,e-{\frac {1}{4}}i,{\sqrt {2}}+\pi i}}$

Sejarah permulaan munculnya bilangan (matematika) berasal dari bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai seperti Bangsa Mesir di aliran sungai Nil, Bangsa Babilonia yang menghuni pinggiran sungai Tigris dan Efrat, Bangsa Hindu India di sepanjang sungai Indus dan Gangga, Serta Bangsa Cina di sepanjang aliran sungai Huang Ho dan Yang Tze. Matematika sangat dibutuhkan oleh bangsa-bangsa tersebut untuk perhitungan berbagai kebutuhan sehari-hari yang melibatkan bilangan seperti halnya perhitungan perdagangan, penanggalan, perhitungan perubahan musim, pengukuran luas tanah dan lain-lain. Pada perkembangan peradaban manusia, matematika semakin diperlukan dalam perdagangan, keuangan, dan pemungutan pajak. Sistem bilangan yang digunakan oleh bangsa-bangsa zaman dahulu bermacam-macam hingga akhirnya berkembang menjadi bilangan yang sekarang digunakan yaitu sistem bilangan Hindu-Arab.^[5]

Unsur-unsur ketiga himpunan N, Z dan Q di atas masih bisa 'diurutkan' (enumerated) tanpa ada satu pun yg tersisa atau tercecer. Himpunan berukuran tak hingga yg bisa diurutkan ini disebut himpunan terhitung (countable).

Himpunan semua bilangan alami (real numbers), yaitu semua bilangan rasional digabung dengan semua bilangan tak rasional (atau irasional), dinyatakan dengan lambang R. Himpunan ini selain berukuran tak hingga, juga himpunan tak terhitung sebab bisa dibuktikan secara matematis, setiap usaha untuk mengurutkannya selalu gagal, karena menyisakan bilangan alami.^[6]

Dalam matematika, lambang bilangan digunakan untuk mengetahui banyaknya satuan ukuran dari hal yang diukur. Lambang bilangan terdiri dari susunan angka-angka.^[7] Matematika memanfaatkan keterampilan mengenal hubungan bilangan-bilangan untuk berbagai keperluan. Kegiatan menggunakan garis bilangan untuk menemukan hubungan kuantitatif di antara data dilakukan dalam operasi aritmetika. Aturan-aturan atau rumus-rumus matematika untuk menghitung jumlah atau menentukan hubungan dari pengukuran dasar diketahuii dengan menggunakan angka. Bilangan juga diperlukan untuk proses menyatakan suatu pengukuran, pengurutan, dan penggolongan benda-benda.^[8]

• Daftar angka
• Konstanta matematika
• Struktur abstrak
• Bilangan asli
• Sistem bilangan
• Sistem bilangan Arab
• Daftar angka dalam berbagai bahasa

• Modular Fas Harvard