Sebuah persamaan beda rasional adalah persamaan beda nonlinear dalam bentuk[1][2][3][4]
![{\displaystyle x_{n+1}={\frac {\alpha +\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}x_{n-i}}{A+\sum _{i=0}^{k}B_{i}x_{n-i}}}~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01a8431d3ec81fe0144452335696662461ac3da2)
dimana kondisi awal
sedemikian rupa sehingga penyebut tidak pernah hilang untuk
apa-pun.
Persamaan beda rasional urutan pertama
Sebuah persamaan beda rasional urutan pertama adalah persamaan beda nonlinear dari bentuk
![{\displaystyle w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/232336638f42965f43061ff15c54e3c42b291d64)
Bila
dan kondisi awal
adalah bilangan real, maka persamaan beda ini disebut sebagai persamaan beda Riccati.[3]
Persamaan tersebut diselesaikan dengan menulis
sebagai transformasi nonlinear dari variabel lain
yang berkembang secara linear. Kemudian metode standar dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan beda linear pada
.
Persamaan bentuk ini muncul dari masalah tangga resistor tak-hingga.[5][6]
Memecahkan persamaan urutan pertama
Pendekatan pertama
Pendekatan pertama[7] untuk mengembangkan variabel yang diubah
, ketika
ditulis sebagai
![{\displaystyle y_{t+1}=\alpha -{\frac {\beta }{y_{t}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/998ebf942a694cefa18d0d12565ed5dba2b1b129)
dimana
dan
dan dimana
.
Penulisan lebih lanjut
ditampilkan sebagai hasil
![{\displaystyle x_{t+2}-\alpha x_{t+1}+\beta x_{t}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0314315b44622909ce6a004eca023b89fb6bdfd8)
Pendekatan kedua
Pendekatan ini[8] diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk
alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus dimana
bukanlah negatif. Tulis sebagai
diimplikasikan
, dimana
yang diberikan oleh
dan dimana
. Maka dapat ditunjukkan bahwa
dievolusikan sebagai
![{\displaystyle x_{t+1}=\left({\frac {d-\eta c}{\eta c+a}}\right)x_{t}+{\frac {c}{\eta c+a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d01968a8e0f1dd11e6106a47f16654d4864b47f4)
Pendekatan ketiga
Persamaan
![{\displaystyle w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99497b9690d16c459cdbebb7b16444a99f7c87b)
juga dapat diselesaikan dengan melakukan sebagai kasus khusus dari persamaan matriks lebih umum
![{\displaystyle X_{t+1}=-(E+BX_{t})(C+AX_{t})^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7816a5073c392c771b81280f85f19974fee272df)
dimana semua A, B, C, E, dan X adalah matriks n×n (dalam hal ini n=1); solusinya adalah[9]
![{\displaystyle X_{t}=N_{t}D_{t}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2cfa3701f7e5d8b93aebde20c57e9f8d2d1bcad)
dimana
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}N_{t}\\D_{t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-B&-E\\A&C\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}X_{0}\\I\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8a275660e5ff0ad8b1d26279b63543219895df)
Aplikasi
Hal ini ditunjukkan[10] bahwa matriks persamaan Riccati dinamis dari bentuk
![{\displaystyle H_{t-1}=K+A'H_{t}A-A'H_{t}C(C'H_{t}C)^{-1}C'H_{t}A,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae81aba90fc57679631d7ecd24cfbe84eff7e599)
yang dapat muncul pada beberapa masalah kontrol optimal waktu-diskrit, bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan kedua diatas jika matriks C hanya memiliki satu baris lebih banyak daripada kolom.
Referensi
- ^ Skellam, J.G. (1951). “Random dispersal in theoretical populations”, Biometrika 38 196−218, eqns (41,42)
- ^ Camouzis, Elias; Ladas, G. (November 16, 2007). Dynamics of Third-Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures. CRC Press. ISBN 9781584887669 – via Google Books.
- ^ a b Kulenovic, Mustafa R. S.; Ladas, G. (July 30, 2001). Dynamics of Second Order Rational Difference Equations: With Open Problems and Conjectures. CRC Press. ISBN 9781420035384 – via Google Books.
- ^ Newth, Gerald, "World order from chaotic beginnings", Mathematical Gazette 88, March 2004, 39-45 gives a trigonometric approach.
- ^ "Equivalent resistance in ladder circuit". Stack Exchange. Diakses tanggal 21 Februari 2022.
- ^ "Thinking Recursively: How to Crack the Infinite Resistor Ladder Puzzle!". Youtube. Diakses tanggal 21 Februari 2022.
- ^ Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," American Mathematical Monthly 62, September 1955, 489–492. online
- ^ Mitchell, Douglas W., "An analytic Riccati solution for two-target discrete-time control," Journal of Economic Dynamics and Control 24, 2000, 615–622.
- ^ Martin, C. F., and Ammar, G., "The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method," in Bittani, Laub, and Willems (eds.), The Riccati Equation, Springer-Verlag, 1991.
- ^ Balvers, Ronald J., and Mitchell, Douglas W., "Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems," Journal of Economic Dynamics and Control 31, 2007, 141–159.
Bacaan lebih lanjut
- Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," Mathematical Gazette 93, November 2009, 500-504.